设 $M$ 是一个光滑流形, 记 $\mathfrak{X}(M)$ 是 $M$ 上所有 $C^\infty$ 向量场的集合. 证明:

(1) $\mathfrak{X}(M)$ 是 $\mathbb{R}$ 上的无穷维向量空间.

(2) $\mathfrak{X}(M)$ 是 $C^\infty(M)$ 上的一个模. 且是局部有限生成的. 即, 对任意一点 $p\in M$, 存在 $p$ 的一个邻域 $V$, 存在 $V$ 上有限个向量场, 生成了 $\mathfrak{X}(V)$ ($\mathfrak{X}(M)$ 在 $V$ 上的限制), 它是 $C^\infty(V)$ 上的一个有限生成模.

References:

William M. Boothby, An Introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian Geometry, second edition. P.157, Ex 1.